硬核科普：欧足联的“失误”，让梅罗对决概率提升了多少？

欧冠16强抽签因匪夷所思的“软件技术问题”竟然重新抽签，万众瞩目的“梅罗对决”泡汤，欧足联暗箱操作的传闻已久，我们从概率论的角度分析一下，这些“软件技术问题”到底有多大的可能性会提高梅罗相遇的概率。

一个很好的类比就是抽签就像是国际象棋棋盘：

我们把8只小组第一的队伍名称写在左边，8只小组第二的队伍名称写在上边。抽签就好像在棋盘上放置8只车，使得所有车之间无法互吃。

例如上图放置了8只车，就对应了16强的一种抽签，即每只车的横纵坐标对应的两只队伍就是对阵双方，即曼城VS切尔西，利物浦VS国际米兰，阿贾克斯VS巴黎，皇马VS萨尔茨堡，拜仁VS马竞，曼联VS本菲卡，里尔VS葡萄牙体育，尤文VS比利亚雷亚尔。

但是明显这个例子有一个问题就是曼城是不能对阵切尔西的，因为16强抽签需要满足两个条件：

1. 小组赛同一组的队伍不再对阵；

2. 同一联赛的队伍不再对阵。

我们首先看看哪些队伍不能在一起。小组赛晋级情况如下：

自然这8组队伍不能在16进8对阵。此外，由于英超四强、西甲三强、法甲两强、意甲两强的存在，切尔西不能对阵曼城、利物浦和曼联，皇马不能对阵马竞、比利亚雷亚尔，巴黎不能对阵里尔，尤文不能对阵国米。这些限制就好像在棋盘上规定这15个位置不能摆子。

于是可以选择的地方就少了很多。可以看到，拥有最多限制的队伍就是切尔西，有4只队伍不能选；其次是皇马，有3只队伍不能选择；而其余14只队伍最多只有2只队伍无法选择。我们的抽签就必须躲过这些雷区，好像带着镣铐跳舞一样，看似没有多少种选择空间。

其实不然，让我们使用Python的itertools模块简单的计算一下有多少种对的可能性：

这里我们将小组第一的队伍编码为0,1,2,3,4,5,6,7, 而小组第二的队伍是permu[0],permu[1],permu[2],permu[3],permu[4],permu[5],permu[6],permu[7]，我们对15个限制条件加以判断。

答案等于4781组，即依然存在4781种合理的对阵方式。而如果没有任何限制的话，16强的对阵方式是8的阶乘等于40320种，即这上面的15种限制过滤掉了1-4781÷40320 = 88.14%的可能性。

我们这里假设每种可能的情况是等概率的，那我们计算一下梅罗相遇的概率是多少。我们只需要在合理的情形下数有多少种情况满足permu[5]==0即可。

答案输出为

即正常情况下，梅罗相遇的概率为17.82%。

如果按照欧足联那欧足联的 “软件技术问题”有多大的可能性会提高梅罗相遇的概率。我们来看官方对于软件技术问题的解释：

1.曼联抽中了比利亚雷亚尔，两队是小组赛同组对手。

2.利物浦进入了马竞欧冠抽签池中，他们小组赛处于同组。

3.曼联未被放进马竞抽签池中。

前两条都是关于同组回避的，其实这种技术错误完全没有必要，因为同组的对手即使被抽出来也不会算数（曼联抽中比利亚雷亚尔后，换成了曼城就是例子）。

但是第三条错误就很致命了，因为直接把曼联可以对阵的队伍去掉了一个，让梅罗相遇的概率大幅提高。让我们来计算一下这种技术错误会对梅罗相遇有多少帮助，程序很容易修改，因为我们只要加入一条permu[5]不能等于1的判断即可。

答案输出为

也就是说简单地加入曼联和马竞不能相遇这条规则，使得梅罗不能相遇的情况从3929种减少到了3041种（减少了22.6%），而使得梅罗相遇的概率从17.82%提高到了21.88%。

最后，我想说的是其实可以更精细化的建模，因为抽签的规则是每次先抽出一只小组第二，然后在所有允许对阵的小组第一种抽取一只，反复进行8次。因此可以采用8个条件概率链来建模，有兴趣的读者可以进一步用这种方式更加精细化的计算一下。